Francis William Lawvere "Some Thoughts on the Future of Category Theory" 1991

初等 topos の射$ f_!\dashv f^*\dashv f_*\dashv f^!:{\cal E}\xrightleftarrows[f^*]{f_*}{\cal S} に對して隨伴三幅對$ (f_!;f^*)\dashv(f_*;f^*)\dashv(f_*;f^!):{\cal E}\to{\cal E}を導く

$ (f_*;f^*)\dashv(f_*;f^!)が$ \square\dashv\bigcircに當たる

陽三幅對 (Yang triple)

$ {\rm comodality}\dashv{\rm modality}\dashv{\rm comodality}

例 : differential cohesion

differential cohesive (infinity,1)-topos in nLab

辯證

隨伴 modality$ \square\dashv\bigcircに對して

順辯證$ \bigcirc;\square\Rarr\square;\bigcirc

餘單位と單位 (圈)の合成$ \epsilon;\etaに等しい

$ \square\xRightarrow{\epsilon}{\rm Id}\xRightarrow{\eta}\bigcirc

$ \square(X)\xrightarrow{\epsilon_X}{\rm Id}(X)\xrightarrow{\eta_X}\bigcirc(X)

逆辯證$ \square;\bigcirc\Rarr\bigcirc;\square

定義されないかもしれない

止揚 (Aufhebung。unity of opposites (對立物の統一)。jump operator)

Aufhebung in nLab

Ryuya Hora, Yuhi Kamio, Yuki Maehara “Lawvere's fourth open problem: Levels in the topos of symmetric simplicial sets” 2025/3/25

topos の level (level of a topos。本質的部分 topos (essential subtopos))

level of a topos in nLab

essential subtopos in nLab

初等 topos$ \cal Lが初等 topos$ \cal Eの level であるとは、以下を滿たす事を言ふ

部分 topos (subtopos) である$ {\cal L}\hookrightarrow{\cal E}

subtopos in nLab

部分圈であり、幾何學的射$ i:{\cal L}\to{\cal E}が存在する

$ i は幾何學的射である$ f=(i^*\dashv i_*):{\cal L}\xrightleftarrows[i^*]{i_*}{\cal E}

$ iが本質的幾何學的射である$ i_!\dashv i^*\dashv i_*:{\cal L}\xrightarrow{i_!}{\cal E}

$ i_!と$ i_*は充滿忠實函手に成る

初等 topos$ \cal Eの level の全體は包含を順序として完備束を成す

單體的集合の圈$ \bf sSetの次元に對應する

本質的局所化 (essential localization) の初等 topos 版

圈$ \cal Lが圈$ \cal Eの本質的局所化であるとは、反映的部分圈$ i:{\cal L}\hookrightarrow{\cal E},$ r\dashv i:{\cal L}\xleftarrow{r}{\cal E}であり、反映$ rが更に左隨伴を有つ$ l\dashv r\dashv i:{\cal L}\xrightarrow{l}{\cal E}事を言ふ

初等 topos$ \cal Fの level$ i:=(i_!\dashv i^*\dashv i_*:{\cal E}_i\xrightarrow{i_!}{\cal F})から、隨伴 modality$ \square_i\dashv\bigcirc_iを$ i^*;i_!\dashv i^*;i_*として導く

$ i-餘骨格的 ($ \bigcirc_i-樣相型)

對象$ X\in|{\cal E}_i|で單位 (圈)$ \eta:{\rm Id}\Rarr\bigcirc_i,X\mapsto\bigcirc_i(X)が同型$ X\cong\bigcirc_i(X)と成るもの

直感的には、「小さな部分構造から恢復できる」度合ひを測ります。

餘 monad$ \bigcirc_iの餘代數 (圈)$ (X,\chi:X\to\bigcirc(X))である

Lawvere-Tierney topology in nLab

樣相型 (modal type)

modal type in nLab←→comodal type in nLab

necessity and possibility in nLab

樣相型理論 (modal type theory)

modal type theory in nLab

modal homotopy type theory in nLab

$ i-骨格 (圈)的 ($ \square_i-樣相型)

對象$ X\in|{\cal E}_i|で餘單位$ \epsilon:\square_i\Rarr{\rm Id},\square_i(X)\mapsto Xが同型$ \square_i(X)\cong Xと成るもの

直感的には、「小さな商構造から恢復できる」度合ひを測ります。

monad (圈)$ \square_iの代數 (圈)$ (X,\chi:\square(X)\to X)である

level$ iは level$ jより小さい$ i\prec j,$ \begin{matrix}\square_i & \prec & \square_j \\ \perp & & \perp \\ \bigcirc_i & \prec & \bigcirc_j\end{matrix}とは、$ \bigcirc_i;\bigcirc_j=\bigcirc_i(全ての$ i-餘骨格は$ j-餘骨格でもある) かつ$ \square_i;\square_j=\square_i(全ての$ i-骨格 (圈)は$ j-骨格 (圈)でもある) 事を言ふ

level$ jは level$ iの對立を解決する$ i\ll j,$ \begin{matrix}\square_i & \ll & \square_j \\ \perp & & \perp \\ \bigcirc_i & \ll & \bigcirc_j\end{matrix}とは、$ i\prec jかつ$ \square_i;\bigcirc_j=\square_i(全ての$ i-骨格 (圈)は$ j-餘骨格でもある。$ \forall X(\square_i(X)\cong X\implies X\cong\bigcirc_j(X))) である事を言ふ

level$ jは level$ iを止揚する$ \begin{matrix}\square_i & \ll & \square_j \\ \perp & \searrow & \perp \\ \bigcirc_i & \ll & \bigcirc_j\end{matrix}とは、level$ jが level$ iの對立を解決する最小の level である$ j=\argmin_k i\ll k事を言ふ

table:a

Sphäre moment (modality) Einheit (unity) comonent (comodality)

Seinslogik (存在の論理) Sein (Dasein) Ansichseyn (being-in-itself) Etwas (something) Sein-fuer-Anderes (being-for-other)

Wesenslogik (本質の論理) Existenz Ding-an-sich (Inneres。thing-in-itself) Ding äußerliche Existenz (external existence)

Begriffslogik (槪念の論理) Begriff Idee Wirklichkeit (actuality)

Hegelian taco in nLab

生成 : 無$ ^\mapsto\varnothing\dashv~^\mapsto *有 : 消滅

Science of Logic in nLab#First section. Bestimmtheit (Qualität) / Determinateness (Qualit

adjoint modality in nLab#Werden : Nichts ⊣\dashv Sein

0⊣1

隨伴三幅對$ (1\mapsto\varnothing)\dashv\varDelta{\bf 1}\dashv(1\mapsto *):{\cal C}\xrightarrow{\varDelta{\bf 1}}{\bf 1}

左隨伴$ {\bf 1}\to{\cal C},1\mapsto\varnothing,{\rm id}_1\mapsto{\rm id}_\varnothing

一點圈$ {\bf 1}=\{1\}への定値函手$ \varDelta{\bf 1}:{\cal C}\to{\bf 1},\_\mapsto 1,(\_\to\_)\mapsto{\rm id}_1

右隨伴$ {\bf 1}\to{\cal C},1\mapsto *,{\rm id}_1\mapsto{\rm id}_*

無 (nothing。Nichts)

nothing in nLab

$ \varnothing: 空型。始對象

冪等餘 monad$ ^\mapsto\varnothing

自己函手$ ^\mapsto\varnothing:{\cal C}\to{\cal C},\_\mapsto\varnothing,(\_\to\_)\mapsto{\rm id}_\varnothing

$ ^\mapsto\varnothing=\varDelta{\bf 1};(1\mapsto\varnothing)

自然變換$ \Delta:~^\mapsto\varnothing\Rarr~^\mapsto\varnothing;~^\mapsto\varnothing,$ \Delta_\_={\rm id}_{\varnothing}

冪等性$ ^\mapsto\varnothing=~^\mapsto\varnothing;~^\mapsto\varnothing

餘單位$ \epsilon:~^\mapsto\varnothing\Rarr{\rm Id}_{\cal C},\varnothing\mapsto\_

整合條件

$ \Delta;\Delta~^\mapsto\varnothing=\Delta;~^\mapsto\varnothing\Delta

$ \Delta;\epsilon~^\mapsto\varnothing=\Delta;~^\mapsto\varnothing\epsilon

有 (being。Sein)

being in nLab

$ *: 單型。終對象。Das Eins (the unit)

冪等 monad$ ^\mapsto *

自己函手$ ^\mapsto *:{\cal C}\to{\cal C},\_\mapsto*,(\_\to\_)\mapsto{\rm id}_*

$ ^\mapsto *=\varDelta{\bf 1};(1\mapsto *)

自然變換$ \mu:~^\mapsto *;~^\mapsto *\Rarr~^\mapsto *,$ \mu_\_={\rm id}_*

冪等性$ ^\mapsto *;~^\mapsto *=~^\mapsto *

單位 (圈)$ \eta:{\rm Id}_{\cal C}\Rarr~^\mapsto *,\_\mapsto *

整合條件

結合性$ ^\mapsto *\mu;\mu=\mu~^\mapsto *;\mu

單位性$ ~^\mapsto *\eta;\mu={\rm Id}_{^\mapsto *}=\eta~^\mapsto *;\mu

隨伴 (函手)$ ^\mapsto\varnothing\dashv~^\mapsto *:{\cal C}\xrightleftarrows[^\mapsto\varnothing]{^\mapsto *}{\cal C} ,$ ^\mapsto\varnothing:{\cal C}\rightleftarrows{\cal C}:~^\mapsto *

單位 (圈)$ \eta:{\rm Id}_{\cal C}\Rarr~^\mapsto\varnothing;~^\mapsto *,\_\mapsto*

餘單位$ \epsilon:~^\mapsto *;~^\mapsto\varnothing\Rarr{\rm Id}_{\cal C},\varnothing\mapsto\_

自然同型$ {\rm Hom}(~^\mapsto\varnothing(X),Y)\cong{\rm Hom}(X,~^\mapsto *(Y))つまり$ {\rm Hom}(\varnothing,Y)\cong{\rm Hom}(X,*)

生成 (becoming。Werden)

becoming in nLab

$ b:~^\mapsto*;~^\mapsto\varnothing\Rarr~^\mapsto\varnothing;~^\mapsto*

$ b_X:\varnothing\xrightarrow{!\exist}*

$ Xに依らず一意に存在する

$ b=\epsilon;\eta

$ ~^\mapsto*;~^\mapsto\varnothing\xRightarrow{\epsilon}{\rm Id}_{\cal C}\xRightarrow{\eta}~^\mapsto\varnothing;~^\mapsto *

$ ~^\mapsto\varnothing(X)\xrightarrow{\epsilon_X}{\rm id}(X)\xrightarrow{\eta_X}~^\mapsto*(X)

$ \varnothing\xrightarrow{\epsilon_X}X\xrightarrow{\eta_X}*

消滅 (ceasing。Vergehen)

ceasing in nLab

$ c:~^\mapsto\varnothing;~^\mapsto*\Rarr~^\mapsto*;~^\mapsto\varnothing

$ c_X:*\to\varnothing

存在するならば$ Xに依らず一意に定まる

2 つの射$ c_X,c_Y:*\to\varnothingが在るとする。$ b:\varnothing\to *は一意に存在する。合成射は存在するから$ c_X;b={\rm id}_*,$ b;c_Y={\rm id}_\varnothing。結合律と恆等律より$ c_X=c_X;{\rm id}_\varnothing=c_X;(b;c_Y)=(c_X;b);c_Y={\rm id}_*;c_Y=c_Y

同型射になる$ \varnothing\cong *

$ {c_X}^{-1}:\varnothing\to *はただ一つ存在する爲$ b_Xに等しい

射$ *\to *はただ一つ存在する爲$ c_X;b_X={\rm id}_*

射$ \varnothing\to\varnothingはただ一つ存在する爲$ b_X;c_X={\rm id}_\varnothing

$ \varnothingも$ *も零對象になる

零射になる$ 0_{*\varnothing}

射$ X\to *も射$ \varnothing\to Xも各對象每にただ一つしか存在しない爲、射$ X\to *,$ \varnothing\to Xの選び方によらず$ X\xrightarrow{!\exist}*\xrightarrow{c_Y}\varnothing\xrightarrow{!\exist}Zは同じ射$ 0_{XY}=X\to Zに合成される

$ 0_{XZ}も零射になる

量 (quantity。Quantität)。離散$ \flat\dashv\sharp連續

Science of Logic in nLab#Second section. The magnitude

adjoint modality in nLab#Quantity : discreteness ⊣\dashv continuity

Francis William Lawvere "Cohesive Toposes and Cantor's "lauter Einsen"" 1994

凝集 topos

隨伴三幅對$ {\rm Disc}\dashv\Gamma\dashv{\rm coDisc}:{\cal C}\xrightarrow{\Gamma}{\cal S}

左隨伴は充滿忠實函手$ {\rm Disc}:{\cal S}\to{\cal C}

忠實函手$ \Gamma:{\cal C}\to{\cal S}

右隨伴は充滿忠實函手$ {\rm coDisc}:{\cal S}\to{\cal C}

離散 (discreteness。Diskretion)

flat modality in nLab

Flat Modality — Agda 2.8.0 documentation

spatial type theory

［1509.07584］ Brouwer's fixed-point theorem in real-cohesive homotopy type theory

我々は homotopy 型理論 (HoTT)と公理的 cohesion 理論を統合し、後者を「隨伴論理」の一種として內部的に表現する。この表現では、離散化と餘離散化の樣相を「明確な變數」に基づく判斷形式體系によって特徵附ける。これにより、「空閒的」および「cohesive」型理論が得られる。これらの型理論では、型を獨立した位相構造と homotopy 構造を持つものとして捉へることが可能となる。これらの型理論は、homotopy 型理論 (HoTT)における「同定 (identification)」槪念と位相幾何學の「連續 path」を分離して考察するために用ゐることができる。さらに高度な改良である「實 cohesion」においては、その形狀は實數からの連續函數によって決定される。これは古典的な代數的位相幾何學における手法と同樣である。この手法により、homotopy 理論を位相幾何學に應用した古典的な成果の一部を形式的に再現することが可能となる。具體例として、我々は Brouwer の不動點定理を證明する。

Brouwer の不動點定理

ブラウワーの不動点定理 - Wikipedia

Dekpuntstelling van Brouwer - Wikipedia

crisp type theory

［1801.07664］ Internal Universes in Models of Homotopy Type Theory

本硏究では、まず homotopy 型理論 (HoTT)の各種 model における宇宙の本質的に global な性質を再確認する。この性質は、これらの model が構築される前層 topos の內部言語を用ゐてその性質を直接的に公理化することを妨げるものである。この問題を解決するため、我々は內部言語を擴張し、global な元の性質を表現するための樣相演算子を導入する。この枠組みにおいて、我々は區閒が「極小」(立方體的集合 model における區閒が實際に有する性質) であるといふ假定から出發し、立方體的集合 model に基づく Cohen-Coquand-Huber-Mörtberg (CCHM) の繊維 (fibre)槪念を分類する宇宙を構築する方法を示す。この成果は、我々が「crisp 型理論」と呼ぶ枠組み內において、當該 model および關聯する homotopy 型理論 (HoTT) model に對する基礎的な公理化をもたらすものである。

冪等餘 monad$ \flat=\Gamma;{\rm Disc}

自己函手$ \flat:{\cal C}\to{\cal C}離散對象への自己函手

自然變換$ \Delta:\flat\Rarr(\flat;\flat)?

餘單位$ \epsilon:\flat\Rarr{\rm Id}_{\cal C}?

冪等性$ \flat;\flat=\flat?

耐時 (endure)

連續 (continuity。Kontinuität)

sharp modality in nLab

冪等 monad$ \sharp=\Gamma;{\rm coDisc}

自己函手$ \sharp:{\cal C}\to{\cal C}餘離散對象への自己函手

自然變換$ \mu:(\sharp;\sharp)\Rarr\sharp?

單位 (圈)$ \eta:{\rm Id}_{\cal C}\Rarr\sharp?

冪等性$ \sharp;\sharp=\sharp?

永存 (perdure)

隨伴 (函手)$ \flat\dashv\sharp:{\cal C}\xrightleftarrows[\flat]{\sharp}{\cal C} ,$ {\rm Disc}\dashv\Gamma\dashv{\rm coDisc}:{\cal C}\xrightleftarrows[\rm Disc]{\Gamma}{\cal S}\xrightleftarrows[\Gamma]{\rm coDisc}{\cal C}

單位 (圈)$ \eta:{\rm Id}_{\cal C}\Rarr(\flat;\sharp)?

餘單位$ \epsilon:(\sharp;\flat)\Rarr{\rm Id}_{\cal C}?

自然同型$ {\rm Hom}(\flat(X),Y)\cong{\rm Hom}(X,\sharp(Y))?

順辯證

$ q:\sharp;\flat\Rarr\flat;\sharp

$ q_X:{\rm Disc}(X)\to{\rm coDisc}(X)

$ q=\epsilon;\eta

$ \sharp;\flat\xRightarrow{\epsilon}{\rm Id}_{\cal C}\xRightarrow{\eta}\flat;\sharp

$ \flat(X)\xrightarrow{\epsilon_X}{\rm id}(X)\xrightarrow{\eta_X}\sharp(X)

$ {\rm Disc}(X)\xrightarrow{\epsilon_X}X\xrightarrow{\eta_X}{\rm coDisc}(X)

離散位相空閒→位相空閒→密着位相空閒

逆辯證

$ \flat;\sharp\Rarr\sharp;\flat

$ {\rm coDisc}(X)\to{\rm Disc}(X)

定有 (臨在 (Dasein))

Dasein in nLab

Aufhebung in nLab#Aufhebung of Becoming – Determinate being

$ \begin{matrix}\varnothing & \ll & \flat \\ \perp & \searrow & \perp \\ * & \ll & \sharp\end{matrix}

囘して描くと$ \begin{matrix}\flat & \dashv & \sharp \\ \vee & \nearrow & \vee \\ \varnothing & \dashv & *\end{matrix}

$ (\varnothing\dashv*)\prec(\flat\dashv\sharp)である

餘骨格の包含$ (*;\sharp)=*

骨格 (圈)の包含$ (\varnothing;\flat)=\varnothing

$ (\varnothing\dashv*)\ll(\flat\dashv\sharp)である

對立の解決$ (\varnothing;\sharp)=\varnothing

$ \flat\dashv\sharpはそのやうな level の內で最小である

了解です。記号を簡潔に置きます：

• 随伴三幅対$ \mathrm{Disc}\dashv \Gamma \dashv \mathrm{coDisc}の

単位・余単位を

$ \alpha:\mathrm{Id}_\mathcal S \Rightarrow \Gamma\mathrm{Disc},\quad\varepsilon:\mathrm{Disc}\,\Gamma \Rightarrow \mathrm{Id}_\mathcal C,\qquad\beta:\mathrm{Id}_\mathcal C \Rightarrow \mathrm{coDisc}\,\Gamma,\quad\zeta:\Gamma\,\mathrm{coDisc}\Rightarrow \mathrm{Id}_\mathcal S

と書きます。

• $ \flat:=\mathrm{Disc}\,\Gamma,\quad \sharp:=\mathrm{coDisc}\,\Gamma（いずれも$ \mathcal Cの自己函手）。

このとき$ \flat \dashv \sharpの単位と余単位は，成分表示で

単位$ \eta^{\flat\dashv\sharp}:\mathrm{Id}_\mathcal C \Rightarrow \sharp\flat

各$ X\in\mathcal Cについて

$ \eta^{\flat\dashv\sharp}X:\ X\xrightarrow{\ \beta_X\ }\ (\mathrm{coDisc}\,\Gamma)X\xrightarrow{\ \mathrm{coDisc}\,(\alpha{\Gamma X})\ }(\mathrm{coDisc}\,\Gamma\,\mathrm{Disc}\,\Gamma)X\;=\;(\sharp\flat)X.

すなわち

$ \boxed{\ \eta^{\flat\dashv\sharp} \;=\; \mathrm{coDisc}\,(\alpha_{\Gamma(-)})\;\circ\;\beta\ }.

余単位$ \varepsilon^{\flat\dashv\sharp}:\flat\sharp \Rightarrow \mathrm{Id}_\mathcal C

各$ X\in\mathcal Cについて

$ (\flat\sharp)X =\ (\mathrm{Disc}\,\Gamma\,\mathrm{coDisc}\,\Gamma)X \xrightarrow{\ \mathrm{Disc}\,(\zeta_{\Gamma X})\ } (\mathrm{Disc}\,\Gamma)X \xrightarrow{\ \varepsilon_X\ } X.

すなわち

$ \boxed{\ \varepsilon^{\flat\dashv\sharp}\;=\;\varepsilon\;\circ\;\mathrm{Disc}\,(\zeta_{\Gamma(-)})\ }.

⸻

うごきの直観と検算（スケッチ）

• 単位は$ \mathrm{Id}\mathcal C \xRightarrow{\beta} \mathrm{coDisc}\,\Gammaでまず$ \sharpへ入り，続いて$ \mathcal S側の単位$ \alpha:\mathrm{Id}\mathcal S\Rightarrow\Gamma\mathrm{Disc}を$ \Gamma Xに評価して$ \mathrm{coDisc}で持ち上げることで$ \sharp\flatに到達します。

• 余単位は$ \Gamma\mathrm{coDisc}\xRightarrow{\zeta}\mathrm{Id}\mathcal Sを$ \Gamma Xに評価して$ \mathrm{Disc}で押し下げ，最後に$ \varepsilon:\mathrm{Disc}\,\Gamma\Rightarrow\mathrm{Id}\mathcal Cでつぶして$ \mathrm{Id}_\mathcal Cに戻します。

• 三角恒等式は，$ (\mathrm{Disc}\dashv\Gamma)と$ (\Gamma\dashv\mathrm{coDisc})の三角恒等式をホイ素（whiskering）して貼り合わせた合成図式としてチェックできます。

continuum。repulsion$ S\dashv\flat cohesion

Science of Logic in nLab#Third section. The measure.

adjoint modality in nLab#Continuum : repulsion ⊣\dashv cohesion

shape$ S

shape modality in nLab

$ \flat(X)\to X\to S(X)

points-to-pieces transform in nLab

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive%20topos#CanonicalComparison:~:text=1).%C2%A0%C2%A0▮-,Proposition%202.5,-.%20(points

$ (\flat\dashv\sharp)\ll(S\dashv\flat),$ \flat\to\flat

infinitesimal continuum : infin. repulsion$ {\rm infinitesimal}{\frak F}\dashv\&{\rm étale}infinit. cohesion

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality#ContinuumRepulsionCohesion:~:text=of%20continuum%20geometry.-,Infinitesimal%20Continuum,-%3A%20infin.%20repulsion

存在するものの圈 (category of being)

category of being in nLab

始對象と終對象を有ち、隨伴 (函手)$ \square\dashv\bigcircになる冪等餘 monad$ \squareと冪等 monad$ \bigcircを有つ圈を、存在するものの圈と呼ぶ

例

凝集 topos

生成の圈 (category of becoming)

直交公理 (orthogonal axiom)

あらゆる對象$ Xは SUD 對象$ Uによって覆はれ得る (every object X can be covered by a SUD object U)

無限小對象

infinitesimal object in nLab

reduction modality in nLab

objective and subjective logic in nLab

質 (quality) : attraction$ S\dashv\flatrepulsion

↓Aufhenubg der Endlichkeit

ideality / inf. quality (Idealitaet) : being-for-self (Fuersichsein)$ {\frak F}\dashv\&being-for-one (Fuereinssein)

↓Idee

reality$ {\frak R}\dashv{\frak F}

cohesive in nLab

code:singular cohesion.tex

\begin{matrix}

& {\rm id} & \dashv & {\rm id} & \\

& \vee & & \vee & \\

{\rm fermionic} & \rightrightarrows & \dashv & \rightsquigarrow & {\rm bosonic} \\

& \vee & & \vee & \\

{\rm bosonic} & \rightsquigarrow & \dashv & {\rm Rh} & {\rm rheonomic} \\

& \vee & & \vee & \\

{\rm reduced} & {\frak R} & \dashv & {\frak F} & {\rm infinitesimal} \\

& \vee & & \vee & \\

{\rm infinitesimal} & {\frak F} & \dashv & \& & {\rm étale} \\

& \vee & & \vee & \\

{\rm cohesive} & \int & \dashv & \flat & {\rm discrete} \\

& \vee & & \vee & \\

{\rm discrete} & \flat & \dashv & \sharp & {\rm continuous} \\

& \vee & & \vee & \\

& \varnothing & \dashv & * &

\end{matrix}

Some Thoughts on the Future of Category Theory - NotebookLM

https://gyazo.com/2ff12eb2f0de16b86ef651a060955a45

ブリーフィングドキュメント：Lawvere「圈論の未來についてのいくつかの考察」（1991年）レビュー

作成日: 2023-10-27 對象資料:

F. William Lawvere「Some Thoughts on the Future of Category Theory」（1991年、Como会議議事錄より拔粹）

nLab: Some Thoughts on the Future of Category Theory（記事抜粋）

槪要

本ブリーフィングドキュメントは、F. William Lawvere による1991年の論文「圈論の未來についてのいくつかの考察」およびそれに關する nLab の解說記事に基づいてゐます。Lawvere の論文は、1965 年の圈論に關する最初の國際會議（ラホヤ）から 25 年後の Como 會議で發表されたものであり、圈論の發展の軌跡を踏まえつつ、その哲學的な基礎づけと將來的な方向性について考察してゐます。特に、數學的實踐におけるオブジェクトの固定と變換といふ「絕え閒ない矛盾」を圈論がいかに捉へるか、そして「存在（Being）」と「生成（Becoming）」といふ哲學的槪念を圈論、特に初等 topos 理論を用ゐていかに數學的に定式化するか、というふ點に焦點を當ててゐます。nLab の記事は、この論文の主要なテーマ、特にヘーゲルの辨證法哲學（「論理學」）における「對立物の統一と同一性」と「アウフヘーベン（Aufhebung）」の槪念が、Lawvere の提唱する「凝集 topos」の槪念といかに關聯してゐるかを解說してゐます。

主要なテーマと重要なアイデア・事實

圈論の哲學的基礎と數學的實踐:

Lawvereは、圈論の核心的な哲學的發見として、思考のオブジェクトのカテゴリーは、それらのオブジェクトを相互に變換し、比較・區別する射（マップ）のカテゴリーを指定することによってのみ指定される、といふ考へを擧げてゐます。「したがって、數學の應用において、對象化することはマップ化することである（to objectify is to mapify）。」

さらに、射には明確な定義域と値域があり、恆等射が存在することが非自明ながら重要であると指摘してゐます。これらを「スタシス（靜止）」（現代ギリシャ語で「バス停」の意）と關聯附け、それらがなければプロセスも狀態もなくなり、複雜なネットワークが無意味になることを示唆してゐます。

圈論は、「與へられたオブジェクトを正確に保持して構築、計算、演繹を行ふ必要性」と、「それを他のオブジェクトに絕えず變換する必要性」という數學的實踐における絕え閒ない矛盾を捉へる最初の枠組みであると述べてゐます。

「すべてのカテゴリー、大小を問はず、隨伴 (函手)を探し、利用するといふ强力な指針は、それがほとんどの構成、演繹、多くの計算や推定の形式であるため、數學の樣々な分野での私たちの仕事を導いてきた。」と、隨伴 (函手)の槪念の普遍的な重要性を强調してゐます。

「存在（Being）」と「生成（Becoming）」のカテゴリー論的定式化:

論文の第一部では、「存在」と「生成」という哲學的な槪念を、カテゴリーの特定のクラス、特にトポスのクラスを用いて Tentative な明確化を提案してゐます。

「存在の一般的なカテゴリー、生成の特定のカテゴリー」という考え方が、二種類のオリジナルのトポスとその發展を分類する哲學的指針として提案されてゐます。「存在の統一性と凝集性が生成の基礎を提供し、生成の歷史性と制御された變動性が古いものから新しい存在を生み出す。」

「存在のカテゴリー」に對する公理の一つとして、「すべてのオブジェクトが聯結オブジェクトに含まれること」を擧げてゐます。また、「存在のカテゴリー」には、聯結オブジェクトが有限積で閉じてゐるといふ要件も加はると述べてゐます。

「生成のカテゴリー」の特性として、「すべてのオブジェクトXはSUDオブジェクトUによって被覆されること」という「直交性公理」を提案してゐます。（SUDは Decidable, Separable, Unramified を含意する Lawvereの造語です。）これは、サイトにおけるオブジェクト閒の射を制御プロセスや變形と見なし、X の狀態（$ U\to X）がプロセス（$ U'\to U）によって「生成」される狀態（$ U'\to U\to X）になる、といふ考へ方に基づいてゐます。

SUD 對象 (SUD object)

可分 (separable) : 可換代數において確立された槪念です。

不分岐 (unramified) : 幾何學において客觀的な歷史を持つ用語です。

決定可能 (decidable) : 特定の硏究において强力な指針となる主觀的な意味合ひを持つ用語です。これは Peter Johnstone の論文「Quotients of Decidable Objects in a Topos」［QDC］の文脈で言及されてをり、初等 topos のクラス閒の「イプシロン差」に關聯してゐます。

Peter Johnstone "Quotients of Decidable Objects in a Topos" 1983/5

決定可能對象の商 (quotients of decidable objects)

決定可能對象 (decidable object)

decidable object in nLab

locally decidable topos in nLab

theory of decidable objects in nLab

分配圈 (distributive category) において、對象$ Uが SUD であるとは、任意の 2 つの射$ A\to Uに對して、等化子$ Eが餘積の和因子（$ A=E+E'）となることを意味します。

QD 部分 topos (QD subtopos)

決定可能對象の特性を持つ部分 topos

SUD オブジェクトとの關聯 : 分配圈$ \bf Cの任意の空閒$ Xにおいて、SUD オブジェクトの局所分配景 (locally distributive site of SUD objects) が、$ G(C)/Xの QD 部分 topos$ P(X)を決定します。この$ P(X)は、「$ Xがどのような特殊な生成の圈であるか」の近似であるとされてゐます。

二重否定部分 topos との關聯 : 初等 topos における「最小の稠密部分 topos (smallest dense subtopos)」は、二重否定 (double negation) に對して局所的な型 (local types) の部分 topos として定義されます。この二重否定は、QD の槪念と關聯附けられてゐます。具體的には、Lawvere は、最初の對立 (initial opposition) である「空型 (empty type)$ \dashv單型 (unit type)」の解決 (resolution) を、この二重否定部分 topos によって要求できると示唆しています。

「對立物の統一と同一性（Unity-and-identity-of-opposites）」と「アウフヘーベン（Aufhebung）」:

論文の第二部では、ヘーゲルの哲學に触發された「對立物の統一と同一性」といふ數學的定式化と、「アウフヘーベン」という關係性を導入し、一般的な次元性、特には無限小の槪念の明確化を目指してゐます。

「對立物の統一と同一性（UIO）」は、「大きなカテゴリーからより小さなカテゴリーへの（下向きの）函手であり、それが左右の隨伴 (函手)を持つ全充滿な包含である」といふ構造として定義されます。大きなカテゴリーは、左右の端（より小さなカテゴリーと同一視される）にオブジェクトが位置する水平な圓柱として描かれ、左右の端は隨伴性によって對立します。この構造を通じて、「レベル（level）」といふ槪念が導入されます。

大きな圈が topos である場合、右側の端は自動的に部分 topos になります。Lawvere は、この右側の端を「純粹な生成（pure Becoming）」（しばしば「codiscrete」または「chaotic」對象の部分 topos）、左側の端を「非生成（non Becoming）」（「discrete」對象の部分圈）と呼んでゐます。基底 topos（base topos）自体が level の構造を持ち、「セット」と呼ばれる對象の圈を構成します。Lawvere は、ガロアの代數幾何における仕事を引き合ひに出し、基底 topos が必ずしも抽象的なセットのカテゴリーである必要はないと述べてゐます。

「アウフヘーベン（Aufhebung）」は、低いレベルと高いレベルの關係性として定義されます。これは、低いレベルが高いレベルに含まれるだけでなく、長い左隨伴包含が短い右隨伴包含を介して分解される、というより嚴格な條件を滿たします。nLab の記事では、これは Lawvere が後に「凝集 topos」と呼ぶ槪念に關聯附けられてゐます。

nLab の記事では、Lawvere が後に「凝集 topos」と呼ぶ槪念は、「オブジェクトが凝集的な構造（例えば位相や滑らかな構造）を備へた幾何空閒と見なせることを保證する、シンプルだが强力な公理の小さな集まりを滿たすトポス」であると說明されてゐます。

nLab は、凝集 toposΓ:ℰ→𝒮に關して、以下の隨伴四項を議論してゐます：(Π₀ ⊣ Disc ⊣ Γ ⊣ coDisc)。

Γ: ℰ → 𝒮 は、凝集空閒をその基底 topos𝒮 から見た基盤となる點の集合に送る函手と解釋されます。

Π₀ = Γ! は左隨伴であり、オブジェクト X をその「聯結成分の集合」Π₀(X) に送ると解釋されます。聯結オブジェクトは Π₀ によって終對象に送られるものです。Lawvere は、Π₀が有限積を保存することを「存在のカテゴリー」の要件として擧げてゐます。

Disc = Γ* は左隨伴包含であり、點の集合を對應する「離散的な凝集」を備へた空閒に送ると解釋されます。nLab によれば、Disc が全充滿忠實であるため、離散對象には非自明な經路がなく、「生成がない」と考へられます。

coDisc = Γ! は右隨伴包含であり、點の集合を對應する「非離散的な凝集」（indiscrete cohesion）を備へた空閒に送ると解釋されます。nLab によれば、coDisc が充滿忠實であり、その像が部分 topos になることから、「純粹な生成」と考へられます。

nLab は、これらの隨伴 (函手)から得られる隨伴 monad (Disc Γ ⊣ coDisc Γ): ℰ → ℰ を Lawvere が「スケルトン（skeleton）」と「コスケルトン（coskeleton）」と呼んでゐると指摘してゐます。

次元性と無限小空閒:

次元性に關する基本的なアイデアは、次元をレベルと同一視し、特定の例における一般的な次元が何であるかを決定することです。オブジェクトが與へられたレベルによって捉へられる次元（以下）を持つのは、そのレベルの否定（左隨伴包含）の具現化に屬する場合であると述べてゐます。

「したがって、ゼロ次元空閒は單に離散的なものであり、次元 1 は次元ゼロのアウフヘーベンである。」次元ゼロは成分への函手を持つといふ特殊性があるため、次元 1 の定義は、「任意の空閒の點列が何かによって接續できるなら、それは曲線によって接續できる」といふもっともらしい條件と同等になると述べてゐます。ここで「曲線」とは、定義域が一次元である「圖形」（空閒への寫像）を意味します。

「無限小空閒は、基底トポスをその非生成（non-Becoming）側面で含む、決定的な生成（determinate Becoming）への重要なステップであるが、それ自体では聯結オブジェクトが充分に存在しない、すなはち、それ自體では完全に「凝集性のある統一的存在のカテゴリー」を構成しない。」無限小空閒は、環境となる存在の topos 內に非自明な對立物の統一と同一性の良い例を提供すると述べてゐます。

幾何學と論理主義の對立、病的な例への對處:

論文の第三部では、1861/1890 年以來「ありふれた」ものとなった特定の病的な例（例：空閒充填曲線やいたるところで微分不可能な函數）を、より正確な空閒槪念に含める必要はないと主張してゐます。これは、幾何學が狭い論理主義に對して勝利する「イプシロンの差」と關聯附けられてゐます。

「連續性を純粹に內包的な論理的方法で特徴づけようとするすべての試みは、その深い計算への貢獻にもかかはらず、別の種類の餘地を殘す――明らかに物理的でない空閒充填曲線やいたるところで微分不可能な函數のための餘地である。」

空閒を決定する上で、「圖形」、すなはち空閒への寫像を基本的なものと考え、內包量（空閒からの写像）は自然性によって導出されるべきである、という示唆が与えられてゐます。

Lawvere は、ディジタルコンピュータのより物理的に現實的なモデルや、ディオファントス問題へのより「客觀的な」アプローチが、特定の計算からすでに現れてゐると述べてゐます。特に、分配圈におけるバーンサイド環（Burnside rig）が、オブジェクトが滿たす多項式方程式を、對象それ自體の具體的な構造として明らかにすると述べてゐます。例へば、方程式$ x=1+2xが、一點を持ち 2 生成 monoid によって作用され、逆寫像を持つ對象から生じるといった例を擧げてゐます。

敎育と將來展望:

數學の統一性と凝集性を明示的に利用することが、學習と硏究の兩方において、無知が知識に變はる過程を刺激すると述べてゐます。敎育、說明、學生の質問への應答の必要性が、「純粹な」硏究で取り上げられる問題の發生源となることが多いと指摘してゐます。

グラースマンの序論に明確に定式化されているように、「優れた哲學的序文のみが、學生に純粹な數學的發展のどのような種類の應用を探すべきかを方向づけることができる」と述べ、單にスキルを敎へるプラグマティストの敎育理論よりもこの理論が試されるに値すると主張してゐます。

圈論の多角的で情熱的な進步は、全體として著しく安定してをり、多くの基礎的および應用的性質の問題が明らかになりつつあるため、「私たちの科學の未來は明るい」と結論附けてゐます。

まとめ

Lawvere の論文は、圈論が単なる抽象的な數學の道具ではなく、數學的實踐における深い矛盾を捉へ、さらに「存在」と「生成」、「對立物の統一と同一性」といった哲學的槪念を數學的に定式化するための强力な枠組みを提供することを示唆してゐます。特に、初等 topos 理論、隨伴 (函手)、聯結性、SUD オブジェクト、分配圈といった槪念を用ゐて、これらの哲學的アイデアを具體的な數學的問題（次元性、無限小、病的空閒）に關聯附けようとしてゐます。nLab の解說は、これらのアイデアが後に「凝集 topos」というより洗練された槪念に發展し、微分幾何學や高次構造理論といった分野に深い關聯を持つことを示してゐます。論文は、圈論の敎育における哲學的基礎づけの重要性を强調し、この分野の將來への樂觀的な見通しを示して結んでゐます。

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